数学教学中应充分重视“定理教学”

教师在教途上并不是一帆风顺的,尤其在农村中学,有时由于教学上的需要,往往到了初三,也会出现面对陌生学生的情况。笔者今年就遇到了尴尬:几何证明题学生会证的,却不会书写或书写不完整;知道步骤的原因和结论,但讲不出定理的内容;更多的学生面对几何题在证明时凭感觉。面对着时间紧、任务重,怎么办呢?经过一番苦思冥想,针对学生基础差、底子薄,决定狠抓“定理教学”。通过一段时间的复习,学生普遍反映在证题和书写时有了“依靠”,也发现了定理的价值,基本树立了“用定理”的意识。
那么,学生在证题时到底是由哪些原因造成思维受阻,产生解题的困惑呢?我们把它归纳为以下几点:
⑴不理解定理是进行推理的依据。其实如果我们把一道完整的几何证明题的过程进行分解,发现它的骨干是由一个一个定理组成的。而学生书写的不完整、不严密,就因为缺乏对定理必要的理解,不会用符号语言表达,从而不能严谨推理,造成几何定理无法具体运用到习题中去。
⑵找不到运用定理所需的条件,或者在几何图形中找不出定理所对应的基本图形。具体表现在不熟悉图形和定理之间的联系,思考时把定理和图形分割开来。对于定理或图形的变式不理解,图形稍作改变(或不是标准形),学生就难以思考。
⑶推理过程因果关系模糊不清。
针对以上的原因,我们在教学中采取了一些自救对策。
一、教学环节
对几何定理的教学,我们在集中讲授时分5个环节。第1、2 环节是理解定理的基本要求;第3 环节是基本推理模式,第4 环节是定理在推理过程中的呈现方式,提出了“模式+定理”的书写方法;第5 环节是定理在解题分析时的导向作用,提出了“图形+定理”的思考方法。程序图设计如下:
基本要求 → 重新建立表象 →推理模式 → 组合定理 → 联想定理
二、操作分析和说明
⒈ 定理的基本要求
我们认为,能正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写,因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位。因而在教学中我们采取了“一划二画三写”的步骤,让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求,并重新整理了初中阶段的定理(见附页,此只列出与本文有关的定理),集中展示给学生。
例如定理43:直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。
一划:就是找出定理的题设和结论,题设用直线,结论用波浪线,要求在划时突出定理的本质部分。
如:“直角三角形”和“高线”、“相似”。
二画:就是依据定理的内容,能画出所对应的基本图形。
如:
三写:就是在分清题设和结论的基础上,能用符号语言表达 ,允许采用等同条件。
如:∵△ABC是Rt△,CD⊥AB于D(条件也可写成:∠ACB=90°,∠CDB=90°等) ∴△ACD∽△BCD∽△ABC 。
学生在书写时果然出现了一些问题:
①不理解每个定理的条件和结论。学生在书写时往往漏掉条件(如定理19漏掉垂直,定理46漏掉高、中线等);对条件太简单的不会写(如定理3);或者把条件当成结论(如定理12把三线都当成结论)。
②还表现在思维偏差。我们的要求是会用定理,而有些学生把定理重新证明一遍(如定理5、6);或者在一个定理中出现 ∵××,又∵××,∴××的错误。
③更多的是没有抓住本质。具体表现在把非本质的条件当成本质条件(如定理7出现 ∵∠1 和∠2是同位角,∴AB∥CD);条件重复(如定理49,结论∠APO=∠BPO已经包括过圆心O,学生在条件中还加以说明);图形过于特殊(如把定理1的图画成射影定理的基本图形);文字过多(一些定理译不出符号语言,用文字代替)等。
⒉ 重新建立表象
从具体到抽象,由感性到理性已成为广大数学教师传授知识的重要原则。“表象”就是人们对过去感知过的客观世界中的对象或对象在头脑中留下来的可以再现出来的形象,具有一定的鲜明性、具体性、概括性和抽象性。由于几何的每一个定理都对应着一个图形,这给我们在教学中提供了一定的便利。我们要求学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上,而是让学生有意识的记图形,想图形,以形成和唤起表象。我们认为,这对于理解、巩固和记忆几何定理起着重大的作用。
教给学生想形象的基本方法后,我们接下去的步骤是用实例引导学生,下面是一段经整理后的课堂教学主要内容:
⑴ 问:听了老师的介绍后,你怎样回忆垂径定理的形象?
答:垂径定理我在想的时候,脑子里留下“两条等弧、两条相等的线段、一个直角”在一闪一闪的,以后看到弧相等或其他两个条件之一,脑子里就会浮现出垂径定理。
目的:建立单个定理的表象,要求能想到非标准图形。
继续问:看到弧相等,你们只想到了垂径定理,其他的定理就没有想起来吗?
答:想到了圆心角相等、圆周角相等、弦相等……
甚至有学生想到了两条平行弦……
目的:通过表象,进行联想,使学生理解定理间的联系。
⑵ 问:从定理21开始,你能找出和它有联系的定理吗?
答:有定理22(擦短使平行直线变成线段),定理25(特殊化成菱形),定理27……
目的:一般化或特殊化或图形的平移、旋转等变化,加深定理间的联系。
⑶下面的步骤,我们让学生自主思考。学生在不断尝试的过程中,通过比较、分析、判断,进一步熟悉定理的三种语言、定理之间的联系和区别。从学生思考的角度看,他们主要是在寻找基本图形,由于定理之间有一定的联系,在一个基本图形中往往存在着另一个残缺的基本图形,所以学生大多通过连线、延长、作圆、平移、旋转等手段,也有通过特殊化、找同结论等途径把不同的定理联系起来。